9592 - 岁月

希望大家一直记得我。
“希望大家永远忘了我。” ‘ 小 Y 有一个 n 个节点、m 条边的带权无向图 G，节点由 1 至 n 编号。第 i (1 \leq i \leq m) 条边连接 u_i 和 v_i，边权为 w_i。保证 G 连通且没有重边自环。

小 Y 预见到岁月将会磨灭图 G 的痕迹，而这会导致一些边变成有向边，另一些边直接消失。具体地，图 G 历经岁月将会磨损为 n 个节点的带权有向图 G'，其中对于第 i (1 \leq i \leq m) 条边，G' 上

• 有 \frac{1}{4} 的概率同时存在 u_i 向 v_i 和 v_i 向 u_i 的有向边，它们的边权均为 w_i;
• 有 \frac{1}{4} 的概率存在 v_i 向 u_i、边权为 w_i 的有向边，而不存在其反向边;
• 有 \frac{1}{4} 的概率存在 u_i 向 v_i、边权为 w_i 的有向边，而不存在其反向边;
• 有 \frac{1}{4} 的概率 u_i 和 v_i 之间没有边。

所有 m 个随机事件是独立的。

小 Y 认为一个无向图的核心是最小生成树，而一个有向图的核心是最小外向生成树。称图 G' 的一个边子集 E 是外向生成树，当且仅当 |E| = n - 1 且存在一个节点 x 可以只经过 E 中的有向边到达图 G' 上的所有节点。图 G' 的最小外向生成树即为图 G' 上边权和最小的外向生成树。

小 Y 希望图的核心历经岁月侵蚀也保持不变，于是他想知道，有多大的概率，图 G' 的最小外向生成树存在，且其边权和等于图 G 的最小生成树边权和。

你需要将答案对 (10^9 + 7) 取模。可以证明答案一定为有理数 \frac{a}{b}，其中 a 和 b 互质，且 b 不是 (10^9 + 7) 的倍数。因此你输出的数 x 需要满足 0 \leq x < 10^9 + 7 且 a \equiv bx \pmod{10^9 + 7}，可以证明这样的 x 唯一存在。

本题有多组测试数据。输入的第一行两个整数 c, T，分别表示测试点编号和测试数据组数，接下来输入每组测试数据。样例满足 c = 0。

对于每组测试数据，第一行两个整数 n, m，分别表示图 G 的点数和边数，接下来 m 行，第 i (1 \leq i \leq m) 行三个整数 u_i, v_i, w_i，描述图 G 上的一条边。

对于每组测试数据，输出一行一个整数，表示图 G' 的最小外向生成树存在且其边权和等于图 G 的最小生成树边权和的概率，对 (10^9 + 7) 取模。

【样例 1 解释】

该组样例共有 2 组测试数据。

• 对于第一组测试数据，由于图上只有一条边，因此只要 G' 上有边，G' 的最小外向生成树边权和就一定等于 G 的最小生成树边权和。G' 上存在边的概率为 \frac{3}{4}，故答案为 \frac{3}{4}，取模后的结果为 750\,000\,006。
• 对于第二组测试数据，在所有 2^{2m} = 64 种 G' 中，有 13 种情况不满足 G' 的最小外向生成树边权和等于 G 的最小生成树边权和：
• G' 为空图;
• G' 仅包含一条有向边，共 6 种情况;
• G' 仅包含两条有向边，且指向同一个节点，共 3 种情况;
• G' 仅包含两条有向边，且构成一个二元环，共 3 种情况。

由于所有情况等概率出现，因此答案为 1 - \frac{13}{64} = \frac{51}{64}，取模后的结果为 171\,875\,002。

对于所有测试点，

• 1 \leq T \leq 5,
• 2 \leq n \leq 15, n - 1 \leq m \leq \frac{n(n-1)}{2},
• \forall 1 \leq i \leq m, 1 \leq u_i < v_i \leq n, 1 \leq w_i \leq m,
• \forall 1 \leq i < j \leq m, (u_i, v_i) \neq (u_j, v_j)，即 G 没有重边，
• 保证 G 连通。

联合省选